Logaritma

Logaritma merupakan salah satu invers dari perpangkatan atau eksponen. Apabila 3^4 = 81, maka anda dapat menulisnya dalam bentuk logaritma, yaitu log_3 81 = 4, dibaca 3 log 81 = 4. Secara umum, dari pernyataan tersebut dapat kita ubah menjadi “3 pangkat berapa supaya sama dengan 81?” Maka jawabannya adalah 4.

Bentuk secara umum adalah log_a b = c dengan a disebut basis (a > 0 dan a \neq 1, b disebut numerus, dan c disebut hasil logaritma. Namun logaritma basis 10, ini tidak bisa dituliskan, namun cukup dengan menggunakan log.

Sifat-sifat logaritma
Apabila a, b, dan c merupakan bilangan real positif dengan a \neq 1. Maka definisi logaritma dan sifat-sifat eksponen, dapat diturunkan sifat-sifat logaritma, yaitu:

log_a a = 1
log_a 1 = 0
log_a a^n = n
log_a (b \times c) = log_a b + log_a c
log_a (\frac{b}{c}) = log_a b - log_a c
log_a b^n = n log_a b
log_a b = \frac{log_c b}{log_c a} = \frac{1}{log_b a}
log_a b \times log_b c = log_a c
log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} log_a b, dengan m dan n merupakan bilangan bulat dan m \neq 0
a^{log_a b} = b

Contoh
Jika log 2 = p dan log 3 = q, maka tentukanlah nilai dari log 72.

Jawab
Kita ubah 72 ke dalam bentuk perkalian dengan suku-sukunya adalah 2 dan 3. Kemudian, kita gunakan sifat-sifat logaritma.

Jadi, 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2. Dengan demikian, log 72 = log (2^3 \times 3^2)

Gunakan sifat log yang keempat, didapat log 72 = log (2^3 \times 3^2) = log (2^3 + log 3^2)
Setelah mengunakan sifat yang keenam, maka didapat log 2^3 = 3 log 2 dan log 3^2 = 2 log 3. Jadi, log 72 = 3 log 2 + 2 log 3

Terakhir, substitusikan kembali log 2 = p dan log 3 = q, sehingga didapat: log 72 = 3p + 2q

Soal
Jika log 3 = x, log 5 = y, dan log 7 = z, maka tentukanlah nilai dari log \frac{1323}{125}
Jika log_2 3 = p dan log_3 5 = q, maka tentukanlah hasil dari log_8 625